Единый центр возврата неиспользованных накоплений это вранье

!!! Для заработка на финансовых рынках (акции, облигации, валюта, фьючерсы, опционы и другие инструменты) пользуйтесь только услугами организаций, имеющих лицензию Банка России. Начинающим инвесторам рекомендуем воспользоваться интуитивно понятным приложением «Тинькофф Инвестиции».

Подписывайтесь на телеграм-канал Вкладер и потом не говорите, что вас не предупреждали: https://t.me/vklader. Если нет Telegram, подписывайтесь по email.

Будущие жертвы попадают на сайт ЕКЦ ВНДС (Единый Компенсационный Центр Возврата Невыплаченных Денежных Средств).

Там мошенники им врут, что, согласно постановления 28/19329к, направленного на поддержку импортозамещения и повышению благосостояния граждан, каждый гражданин может получить денежную компенсацию затрат на оплату товаров иностранного производства. Расчет суммы компенсации и выплата средств производится за период с 01.01.2016 г. Срок подачи заявок на получение выплаты по компенсации Н.Д.С. за приобретенные товары иностранного производства ограничен, и предлагают ввести 6 последних цифр банковской карты, чтобы проверить свою компенсацию.

Что, конечно, бред, так как, если бы было правдой, поддерживало как раз импорт, а не импортозамещение.

Конечно, и фальшивые отзывы на месте.

Анатолий Утёсов:

А мне только 36 тыс начислили, обидно, хотел больше как у других.

Дмитрий Варламов:

Мне выплатили 115 тысяч компенсации. Я и не знал, что мне её можно получить, хорошо что соседка подсказала и дала ссылку на сайт этот и я забрал деньги что мне положены.

Надежда Афанасьевна:

У нас на подъезде висело объявление от председателя, чтобы все жители дома в срочном порядке проверили наличие невыплаченных компенсаций до конца месяца и адрес этого сайта. Мои соседи по площадке все получили уже от 50 до 170 тыс, мне выплатили 140, я рада, спасибо большое.

Казимир Владленов:

Я так понимаю что у каждого своя сумма компенсации к выплате, не знаю как они там считают, но мне 238 тыс выплатили так что я всем доволен, деньги прилетели моментально.

Подписывайтесь на телеграм-канал Вкладер и потом не говорите, что вас не предупреждали: https://t.me/vklader. Если нет Telegram, подписывайтесь по email.

УДК 519.816

РЕЙТИНГОВАНИЯ БЕЗ КОМПЕНСАЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ1

A.A. Гончаров, В.В. Чистяков

На основе функции перечисления, представляющей пороговое правило лексимин сравнения альтернатив, определены два рейтинговых индекса с учетом и без учета весов. Показано, что при отсутствии компенсаций (когда плохие свойства альтернатив не компенсируются хорошими свойствами) индексы выражают как количественные, так и качественные рейтинговые показатели. Приведен пример применения индексов к рейтингованию учащихся, успеваемость которых выражается векторами большой размерности с целочисленными компонентами.

Ключевые слова: предпочтение, лексимин, компенсация, функция перечисления, рейтинговый индекс.

ВВЕДЕНИЕ

Составление рейтингов применяется повсеместно и касается разнообразных явлений и жизненных ситуаций. Первый по рейтингу объект (субъект, альтернатива) — самый предпочтительный, второй по рейтингу — менее предпочтителен и т. д. по убыванию предпочтения. Определение этих объектов обусловливает задачи о коллективном выборе или анализ многокритериальных задач принятия решений. Этому направлению исследований посвящена обширная литература . Настоящая работа связана с некоторыми его приложениями.

Нас будут интересовать ситуации, когда рей-тингуемые альтернативы характеризуются большим количеством целочисленных оценок. Удобной мотивацией этому служит положение дел, сложившееся в системе образования. Например, сессия из трех экзаменов с итоговыми оценками 3, 3 и 3 считается сданной, а с оценками 5, 2 и 5 — несданной, что можно выразить в виде: набор оценок (3, 3, 3) «предпочтительнее», чем набор (5, 2, 5). Сложение оценок (3 + 3 + 3 = 9 и 5 + 2 + 5 = 12) и сравнение сумм (9 < 12) говорит лишь о том, что принятая в системе образования шкала оценок не количественная, а качественная (более высокая

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Научного фонда НИУ ВШЭ (проект «Учитель — Ученики» № 11-04-0008), Лаборатории алгоритмов и технологий анализа сетевых структур НИУ ВШЭ (грант Правительства РФ, дог. 11.G34.31.0057) и лаборатории ТАПРАДЕСС НН.

оценка отражает более качественное знание; подробнее см. работу ). При сложении низкие оценки компенсируются высокими, чего не происходит при «действиях с качествами». Именно последнее обстоятельство будет играть далее определяющую роль.

Цель настоящей статьи заключается в применении теории порогового агрегирования, развитой в работах и основанной на правиле сравнения лексимин, к рейтингованию альтернатив, оцененных по многим критериям. Для этого с каждым многомерным целочисленным вектором оценок связывается рейтинговый индекс, при помощи которого можно эффективно рейтинговать эти векторы при отсутствии упомянутого эффекта компенсирования. Предполагается, что оценки равноваж-ны (в системе образования неудовлетворительная оценка по любой дисциплине приводит к отчислению) и анонимны в том смысле, что очередность оценок не играет роли. Отсутствие компенсирования, например, при рейтинговании учащихся (и во многих подобных контекстах) приводит к положительному эффекту: неуспевающий по некоторым дисциплинам учащийся никогда не будет иметь больший рейтинг, чем успевающий по всем дисциплинам.

1. РЕЙТИНГОВАНИЕ И РАНЖИРОВАНИЕ АЛЬТЕРНАТИВ

Пусть X — конечное множество с числом элементов X не менее двух, которое интерпретируется как множество альтернатив. Слабым порядком на X () называется бинарное отноше-

Если для отношения Р на X и функции Д: X ^ К. имеет место равенство Р = Рр, то Р называется Д-представимым, а Д (определяемая по Р, вообще говоря, неоднозначно) — функцией предпочтения для Р.

почтительные альтернативы лежат в классах XL с большими номерами Ь. Для индуцированного отношения безразличия I имеем: х1у для х, у е X эквивалентно тому, что х е Xk и у е X, где 1 < к < 5.

Определим функцию N : X ^ {1, 2, …, 5} следующим образом: поскольку любое х е X лежит в Xk при некотором 1 < к < 5, то положим ^х) = к. Функция N называется функцией перечисления для Р . Она определена корректно и однозначно и является сюрьективной функцией предпочтения для Р. Кроме того, она наиболее «эффективна» (поскольку присваивает альтернативам порядковые номера, по значениям которых удобно судить о предпочтительности альтернатив) и «экономна» среди всех функций предпочтения (поскольку 5 < 1X1, а зачастую значение 5 намного меньше, чем число элементов 1X1 в множестве X).

2. РЕЙТИНГОВАНИЕ ПОСРЕДСТВОМ НАБОРОВ ОЦЕНОК

Предположим, что вместе с множеством альтернатив X заданы два целых числа п > 2 и т > 2. Множество М = {1, 2, …, т} интерпретируется как набор (упорядоченных по значимости) оценок, а число п — как количество этих оценок в следующем смысле. Пусть в результате какой-либо процедуры оценивания (например, серии из п экзаменов, тестов, испытаний, сравнений) каждая альтернатива х из X получает в соответствие п рав-новажных оценок х1, х2, …, хп, где все х; лежат в М. Требуется на основе знания оценок х1, х2, …, хп для всех х из X ранжировать множество X (или рейтин-говать его элементы). Поскольку любая альтернатива характеризуется своими наборами оценок, будем считать, что она «совпадает» со своими оценками, и для х из X писать х = (х1,…, хп). Тем

самым имеется вложение X в множество Мп всех п-мерных векторов с компонентами из М. Ранжирование (или рейтингование) Мп при помощи некоторого отношения (строгого) предпочтения приводит к ранжированию и множества X как подмножества Мп. Отметим, что |Мп| = тп.

Для описания применяемых далее методов сравнения альтернатив приведем три простых поясняющих примера.

Пример 1. Предположим, что альтернативы оцениваются по т = 2 оценкам, т. е. М = {1, 2}. Ранжировать Мп при любом п можно при помощи двух естественных отношений предпочтения. Пусть х, у е Мп. Обозначим через У1(х) количество оценок 1 в векторе х и через У2(х) — количество оценок 2 в х. Первое отношение: скажем, что

п п

хОу, если ^ х. > ^ у.. Второе отношение: скажем, что

г = 1

г = 1

хРу, если у1(х) < У1(у). Нетрудно видеть, что Р = 0: дей-

п

ствительно, так как ^ х; = У1(х) + 2у2(х) и У1(х) +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

г = 1

п

+ У2(х) = и, то ^ х = 2и — У1(х).

г = 1

= к} для к = 1, 2, …, где л = и +1 < 2″ = |И» | .

В случае, когда т > 3, естественные обобщения отношений 0 и Р (снова обозначаемые через 0 и Р) уже не совпадают и дают принципиально различные ранжирования множества оценок И».

у1(х) = 0 < 1 = у1(у) для х = (2, 2, 2) и у = (1, 3, 3) е И3, то хРу.

В модели рейтингования, рассматриваемой в настоящей работе, предполагается, что ни одно «плохое качество» альтернативы х е Х не может быть компенсировано никаким количеством ее «самых хороших качеств» («модель полного совершенства», рейтингование без компенсаций). Точный смысл этому дан в § 3 (определение порогового отношения Р). Введем обозначения, используемые всюду ниже, и вернемся к примеру 3.

Для у е И и х = (х1, …, х») е И» обозначим количество оценок у в х через ^(х) = |{1 < г < и: х; = у}|. Ясно, что

п

^ у;(х) = и для всех х е И». Вектор с упорядоченными

г = 1

по неубыванию координатами, получающийся из х перестановкой его координат, обозначается через х*:

VI (х) У2(х)

Vm — 1(х)

^(х)

х* = (1, …, 1, 2, …, 2, …, т — 1, …, т — 1, т, …, т) =

и

V-, V», V 1 V

= (1 , 2 , …, (m — 1) , m ), (1)

где Vj = ^(х) = ^(х*) есть кратность оценки у в векторах х и х*. Положим также (И»)* = {х*: х е И»} и X* = = {х*: х е X} для Xс И».

ния множества И3, получим следующее упорядочение множества (И3)*:

(1, 1, 1)!; (1, 1, 2)2; (1, 1, 3)з; (1, 1, 4)4; (1, 1, 5)5;\\ (1, 2, 2)6; (1, 2, 3)7; (1, 2, 4)8; (1, 2, 5)9;\\

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(1, 3, 3)10; (1, 3, 4)ш (1, 3, 5)12;\\

(1, 4, 4)13; (1, 4, 5)14; (1, 5, 5)15;\\

(2, 2, 2)15; (2, 2, 3)17; (2, 2, 4)18; (2, 2, 5)19; \\

(2, 3, 3)20; (2, 3, 4)21; (2, 3, 5)22;\\

(2, 4, 4)23; (2, 4, 5)24; (2, 5, 5)25;\\

(3, 3, 3)26; (3, 3, 4)27; (3, 3, 5)28;\\

(3, 4, 4)29; (3, 4, 5)30; (3, 5, 5)зр\\

(4, 4, 4)32; (4, 4, 5)33; (4, 5, 5)34; (5, 5, 5)35.

3. ФУНКЦИЯ ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ПОРОГОВОГО ПРЕДПОЧТЕНИЯ Р

лексикографически в .

В работах установлены следующие свойства предпочтения Р. Индуцированное Р

отношение безразличия I имеет вид: х1у лишь, когда .х) = у..(у) для всех 1 < 7 < т, т. е. векторы

5 = |(М»)*| = С-!- ! = С»+ т — ! = = (п + т — 1)!/(п!(т — 1)!),

(2)

(если х, у из (М»)* и х ^ у, то хРу или уРх). Это позволяет ограничиться упорядочением относительно

Р лишь множества (М»)* «монотонных представителей» х * альтернатив х. Таблицы упорядочений

(М»)* при различных п и т приведены в работах .

В общем случае невозможно выписать все таблицы упорядочений элементов множества (М»)* при произвольных целых п > 2 и т > 3, поэтому принципиально важное значение имеет функция перечисления N для порогового предпочтения Р,

которая альтернативе х е М» присваивает порядковый номер Д(х) е {1, 2, …, 5} этой альтернативы

в ранжировании М» относительно Р. Она имеет вид ,

т — 2

Д(х) = £ С.- х) + т — 1 + ^(х) + 1, } = 1

х е М», (3)

где Г(7, х) = v1(x) +…+ у..(х), С^ — биномиальные

коэффициенты при целом 0 < к < п и С^ _ 1 = 0 при 1 < к < п, и обладает свойством Парето-доминиро-вания: если х < у (у > х) означает, что хг < уг- для всех

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/ = 1, 2, …, п, то из х < у для х, у из М», вытекает, что

Д(х) < N00. (4)

Функция предпочтения для Р, не являющаяся функцией перечисления, построена в работе : Д(х) = /(х) + 1 — ((т» — 1)/(т — 1)), где х = (х1, …,

хп) е Мп и / (х) = ^ тп 1 х* есть значение в деся-

1 = 1

4. РЕЙТИНГОВЫЕ СУММЫ И ИНДЕКСЫ

В Национальном исследовательском университете — Высшая школа экономики (НИУ ВШЭ) принята десятибалльная шкала оценок: 1, 2, 3 — неудовлетворительно, 4, 5 — удовлетворительно, 6, 7 — хорошо и 8, 9, 10 — отлично. Изучаемым дисциплинам присваиваются зачетные единицы (веса), называемые кредитами, сумма которых равна 60 (дисциплины с нулевыми кредитами не рассматриваются). Максимальная сумма баллов, которую может набрать учащийся за один год, равна 60-10 = 600. При неуспешной сдаче экзамена по дисциплине учащийся не получает кредита по этой дисциплине (кредит зануляется).

Для того чтобы иметь возможность сравнивать итоговые рейтинги, будем «нормировать» приводимые далее две компенсаторные рейтинговые суммы и два некомпенсаторных рейтинговых индекса на 600 единиц.

X с Мп, где М будет конкретизировано в п. 4.2.

4.1. Рейтинговые суммы

Первая рейтинговая сумма Ап, основанная на среднем арифметическом, вычисляется без учета весов дисциплин по формуле:

Ап(х) = ((х1 + … + хп)/п)-60 для х из Х;

при этом предполагается, что все оценки в векторе х — «положительные»: 4 < х. < 10 для I = 1, …, п (нет учащихся с задолженностями).

Вторая рейтинговая сумма Sn, стандартная для НИУ ВШЭ, учитывает кредиты дисциплин w¡ и имеет вид:

£п(х) = Ы1х1 + … + Ыпхп для х из Х,

где для 1 < I < п положено: и. = 0 при х. = 1, 2 или 3, и Ы = wi при 4 < х < 10 (напомним, что w1 + … + + ып = 6 0).

Обе рейтинговые суммы Ап и Б носят компенсаторный характер (см. обсуждение в § 2, пример 3).

4.2. Рейтинговый индекс без учета весов

Для определения третьего рейтингового выражения, некомпенсаторного индекса N (х) при п < 60, основанного на формуле (3), потребуется переобозначение в (так называемые) действующие оценки, осуществляемое по правилу: оценки 1, 2 и 3 в векторе х, не считающиеся «положительными» (и дающие 0 кредитов), обозначаются через 1, а остальные оценки

у обозначаются через у — 2 для у = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

(5)

ук(х — (2п)) = |{1 < I < п: х1 — 2 = к}| = = |{1 < I < п: х1 = к + 2}| = ук + 2(х),

где к + 2 принимает соответственно значения 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

В6 с (Мп)* следующих видов.

К блоку Вк при к = 1, 2, 3, 4, 5 отнесем те векторы х из (Мп)*, для которых (кп) < х < (к1, 8п — 1) (см. выражения (1) и (4)), а к блоку В6 — те х, для

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

п

щиеся с оценками из Вк при 2 < к < 5 имеют (см. выражение (5)) наименьшую оценку к + 2 по десятибалльной системе, а с оценками из В6 — отличники с минимальной оценкой, равной 6 + 2 = 8.

Рейтинговый индекс Д(х) вектора х е Вк при п < 60 определяется следующим образом в зависимости от значения к: 1 < к < 5 или к = 6.

При 1 < к < 5 в силу выражения (4) имеем N((0) < Д(х) < Щк1, 8″ — !)), и поэтому, для х е Вк, х ф (к1, 8″ — полагаем

Д»(х) = (к — 1)-100 + 1 + , (6)

N((6″)) < Дх) < N((8″)) снова в силу выражения (4), поэтому полагаем

^(х) = 501 + , х ф (8″), (7)

и N»((8″)) = 600, так что величина ^(х) в этом случае принимает целые значения от 501 до 600.

к -1

щк»» = £ с»8 +-7 -} + 1,

-=1

к-1 о •

а о» — — -}

->8 -}

Щк1, 8″ — 1)) = £ С»+7 -} + £ С»+6 -}

+ п,

} = 1 } = к

5 ->8 -}

и аналогично N((6″)) = £ С» +7 -} + 1 и N((8″)) =

} = 1

= |(М»)*| = С»7+7 .

4.3. Рейтинговый индекс с учетом весов

зд =

= х, + … + х, + х, + … + … + х + … + х .

1 12 2 » «

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

раз

раз

раз

Так как + + … + = 60, то значение ^(х) совпадает со значением симметричной функции

от 60 независимых переменных Щ(у) = £ уг, вы-

г = 1

численной на 60-мерном векторе у = (ур …, уб0) =

/ ж 2 \ т^

= (х1 , х2 , …, х» ). Кредит wi учитывается в том

смысле, что за г-ю дисциплину одна и та же оценка хг проставляется wг. раз. Переводя оценки у в действующие согласно выражению (5), получим новый 60-мерный вектор с компонентами, принимающими значения от 1 до 8. Для него определяем рейтинговые индексы (6) и (7) при п = 60, которые и обозначаются через ^0(х).

Идея повторения значений хг по wг. раз предлагалась и использовалась в различных контекстах в работах .

5. ПРАКТИЧЕСКОЕ РЕЙТИНГОВАНИЕ

Модель рейтингования, основанная на пороговом предпочтении, при т = 3 применялась в работах . Здесь эта модель используется в контексте многоградационных ранжировок на примере рейтингования учащихся по их успеваемости за один учебный год (см. также работу ).

Учебная нагрузка и оценки группы учащихся (студентов), состоящей из 14 чел. (А, …, приведены в табл. 1. Изучаемые дисциплины Д-1, …, Д-15 (п = 15) указаны в первой строке, соответствующие им кредиты — во второй, и в оставшихся строках — итоговые оценки за экзамены. Оценка 0 означает неуспешную сдачу экзамена (зачета и т. п.) по дисциплине и используется для расчета рейтинговых сумм А15 и ^15. Для вычисления рейтинговых индексов и оценка 0 заменяется на 1. Примеры расчета этих индексов приведены в работе .

Таблица 1

Учебная нагрузка и оценки учащихся

Студент Д-1 Д-2 Д-3 Д-4 Д-5 Д-6 Д-7 Д-8 Д-9 Д-10 Д-11 Д-12 Д-13 Д-14 Д-15

3 5 3 4 4 6 3 4 6 4 4 1 5 3 5

А 8 6 9 8 9 10 7 6 6 10 10 10 8 7 8

В 7 6 8 8 8 9 7 6 6 10 10 10 8 8 8

С 6 10 8 8 9 10 10 6 4 9 10 10 8 9 9

Б 5 6 8 6 6 6 5 5 4 10 7 10 6 7 7

Е 6 6 7 6 8 7 6 5 4 8 8 10 5 5 5

Е 5 5 9 5 7 8 4 5 6 10 9 10 4 5 7

в 6 5 8 6 6 7 5 4 4 7 6 10 6 5 5

Н 6 4 8 5 7 4 0 4 4 6 6 10 7 4 9

I 4 4 8 4 4 7 0 5 4 4 5 10 5 5 7

/ 4 7 8 6 6 6 6 5 4 6 5 10 6 7 0

К 4 9 7 4 7 6 4 5 4 7 9 10 6 5 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ь 5 4 8 4 5 5 4 4 4 4 4 10 5 6 0

М 4 5 8 4 4 4 0 4 4 6 0 10 5 6 6

N 4 4 8 4 4 6 0 4 4 5 5 10 5 4 0

Рейтинги и рейтинговые суммы и индексы учащихся приведены в табл. 2. В первом столбце указан рейтинг учащегося, т. е. его порядковый номер в рейтинговании в зависимости от значения рейтинговой суммы или индекса, в столбцах Студент перечислены учащиеся (студенты), соответствующие этим порядковым номерам, а в остальных столбцах указаны соответствующие суммы А

и

^15 и индексы N15 и N60.

В табл. 2 учащийся С занимает первую позицию согласно А15 и ^15, тогда как на основе N15 и он — лишь третий, поскольку имеет удовлетворительные оценки. Студенты же А и В в соответствии

с А15 и ^15 занимают вторую и третью позиции, а согласно индексам N15 и — первые две позиции, и являются стипендиатами. Из таблицы также видно, что А и В — хорошисты (с оценками из блока В4), С, Д Е, Еи О имеют не менее, чем удовлетворительные оценки (из блока В2) без пересдач, а учащиеся Н, I, /, К, Ь, М и N — неуспевающие (с оценками из блока В1). Рейтинги на основе А15 и ^15 практически идентичны, тогда как рейтинг значительно более чувствителен по отношению к весам, чем N15, что хорошо видно из средней части табл. 2 (позиции 6—11).

Таблица 2

Рейтинги (номера) учащихся

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

№ Ст. А15 Ст. *15 Ст. *15 Ст. N,0

1 С 504 С 496 А 353 А 335

2 А 488 А 481 В 353 В 335

3 В 476 В 468 С 197 С 161

4 Е 396 Е 387 Б 179 Б 157

5 Б 392 Б 376 Е 176 Е 156

6 Е 384 Е 368 в 152 Е 145

7 в 360 в 344 Е 151 в 136

8 К 348 К 333 / 80 Н 72

9 / 344 Н 324 К 72 I 72

10 Н 336 / 322 Н 71 / 59

11 I 304 I 295 I 69 К 57

12 Ь 288 М 264 Ь 68 Ь 57

13 М 280 Ь 262 М 45 М 44

14 N 268 N 251 N 44 N 39

В целях рейтингования определены два рейтинговых индекса: ^ при п < 60 (без учета весов) и (с учетом весов). Проведено сравнение индексов N и с суммами Ап (без учета весов) и Б (с учетом весов). Показано, что рейтинги на основе Ап и Б практически «параллельные». Рейтинговые индексы ^ и дают более адекватную картину успеваемости учащихся по сравнению с Ап и Б . Индексы ^ и позволяют:

— классифицировать учащихся по успеваемости (рейтинг неуспевающего студента не будет больше рейтинга успевающего);

— квалифицированно присваивать порядковое рейтинговое значение каждому учащемуся;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

— получать качественную картину успеваемости всех учащихся.

Поскольку рейтингование проводилось в контексте системы образования, то существенным образом учитывалось количество низких оценок в векторах-альтернативах. В работах развита также двойственная модель порогового агрегирования, в которой наибольшее внимание уделяется наличию высоких оценок в векторах-альтернативах. Эта модель, включающая в себя явные формулы для двойственных функций перечисления, может быть применена в ситуациях, когда хотя бы одно хорошее качество альтернатив играет определяющую роль.

Подытоживая, можно утверждать, что рейтин-гования, основанные на некомпенсаторных индексах, подобных индексам N и могут представлять значительный интерес во многих реальных ситуациях, когда компенсирование «плохого» посредством «хорошего» не представляется возможным.

Авторы выражают благодарность Ф.Т. Алеске-рову, В.А. Калягину и В.В. Подиновскому за интерес к работе и ценные замечания, а также Е. А. Пикуль-киной за помощь при оформлении рукописи.

ЛИТЕРАТУРА

2. Sen A.K. Collective Choice and Social Welfare. — San Francisco: Holden-Day, 1970.

3. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. — М.: Физмат-лит, 1974.

4. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — Там же, 1978.

5. Moulin H. Axioms of Cooperative Decision Making. — Cambridge: Cambridge University Press, 1988.

6. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов (основы теории). — М.: Наука, 1990.

7. Aleskerov F. Arrovian Aggregation Models. — Dordrecht: Klu-wer Academic Publishers, 1999.

8. Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. — М.: Физматлит, 2007.

16. Aleskerov F, Chistyakov V.V., Kalyagin V. The threshold aggregation // Economics Letters. — 2010. — Vol. 107, N 2. — P. 261—262.

19. Хаусдорф Ф. Теория множеств. — М.: ОНТИ, 1934.

20. Vilkas E. An axiomatic definition of the leximin // European Journal of Political Economy. — 1986. — Vol. 2/4. — P. 455—463.

22. Подиновский В.В. Симметрически-лексикографические задачи оптимизации и антагонистические игры // Автоматика и вычислительная техника. — 1981. — № 5. — С. 55—60.

25. Подиновский В.В. Критерий вероятностно-лексикографического максимина // Вестник Московского университета / Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 1983. — № 2. — С. 33—38.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

27. Подиновский В.В. Количественная важность критериев // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 5. — С. 110—123.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

Ф.Т. Алескеровым.

Гончаров Алексей Александрович — студент магистратуры,